Курсовая работа: Уравнение и функция Бесселя

Задание на курсовую работу ....................................................................... 2

Замечания руководителя .............................................................................. 3

1. Бесселевы функции с любым индексом ................................................... 5

2. Формулы приведения для бесселевых функций ..................................... 10

3. Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................. 13

4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. 15

5. Ряды Фурье-Бесселя ................................................................................. 18

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента ...................................................................... 23

Список литературы ...................................................................................... 30

1. Бесселевы функции с любым индексом

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

. (1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

, , ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

. (2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

; ;

; ;

.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--