Курсовая работа: Вариации при исчислении

(1.13)

область определения которого D(J) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям: uС(1) [a, b] и

u(а) = А, u(b) = В, (1.14)

где А и В-заданные постоянные. Условия (14) означают, что кривые у = u(х), где uD(J), проходят через две фиксированные точки (а, А) и (b, В).

Несложно показать, что функционал (13) удовлетворяет оговоренным выше двум требованиям, кроме того, он удовлетворяет требованию 3.

Требование 3. Вариация δJ (u, η) – не только однородный, но и аддитивный функционал от η.

Составим вариацию функционала (1.13)

(1.15)

Можно показать, что интеграл:

(1.16)

есть ограниченный функционал от η, при этом считаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям:

η(а) = η(b) = 0. (1.17)

В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям

Таким образом, интеграл (1.15) можно записать в виде

.(1.18)

Здесь u + αη – u = αη = δu u можно записать

(1.19)

Вариацию δJ (u, η) можно записать в виде

δJ (u, η) = (Рu, η). (1.20)

Определение. Оператор Р, определенный формулой (1.20), называется градиентом функционала J(u) и обозначается символом

Р = gradJ.

Если uD(Р), то вариацию функционала J(u) можно записать в виде

δJ (u, η) = (grad J(u), η) (1.21)

Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождать запись. В выражении (1.18)

.

1.5 Необходимое условие минимума функционала

Пусть функционал J достигает на некотором элементе u₀ относительного минимума. Возьмем произвольный элемент ηМ и произвольное вещественное число α. По определению относительного минимума при достаточно малых значениях α

J(u₀ + αη)J(u₀ ) (1.22)

Это неравенство означает, что функция одной вещественной переменной α, равная J(u₀ + αη), имеет при α₀ = 0 относительный минимум. Но тогда необходимо