Курсовая работа: Вариации при исчислении

или, что то же

δJ(u₀ , η) = 0 (1.23)

Если функционал в некоторой точке достигает минимума, то в этой точке первая вариация функционала равна нулю. В этом заключается необходимое условие экстремума функционала.

1.6 Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами

Рассмотрим основную лемму вариационного исчисления.

Лемма Лагранжа.

Пусть f (х, у) – функция, непрерывная в области D с контуром Г. Если

η (х, у) dxdy = 0 (1.24)

для любой функции η (х, у), непрерывной в области D вместе со своими частнымы производными до n-го порядка включительно и обращающейся в нуль на границе Г (η (х, у)|_Г = 0), то

f (х, у) = 0.

Для примера, рассмотренного в 1.4, было получено в точке минимума функционала (1.13) условие

(1.25)

Исходя из леммы Лагранжа, можем записать

.(1.26)

Если условие (1.25) записать в виде

,

то очевидно, что δu (вариация искомой функции) – функция неравная нулю на отрезке (а, b), поэтому должно выполняться условие (1.26).

Уравнение (1.26) можно еще записать в виде

Уравнение (1.26) называют уравнением Эйлера. Если предположить существование непрерывной второй производной от u(х), то уравнение (1.26) можно записать в виде

.

Таким образом, условие минимума функционала (1.13) при условии (1.14) приводит к краевой задаче для уравнения Эйлера (1.26) при тех же условиях (1.14), т.е. Существует тесная связь между вариационной задачей о минимуме функционала и краевой задачей для уравнения Эйлера для этого функционала.

Решения уравнения Эйлера (1.26), удовлетворяющие условиям (1.14) называют экстремалями функционала (1.13).

1.7 Пути решения вариационных задач

Один из путей решения вариационной задачи, т.е. задачи нахождения минимума некоторого функционала J(u) при заданных краевых условиях, состоит в сведении этой задачи к краевой задаче для дифференциального уравнения при тех же краевых условиях, которое является уравнением Эйлера для этого функционала, с последующим решением этой задачи.

Второй путь решения вариационной задачи состоит в применении вариационных методов, которые позволяют приближенно найти функцию u₀ , дающую минимум функционалу J(u), и удовлетворяющую заданным краевым условиям.

Рассмотрим несколько примеров решения задач вариационного исчисления, основанных на нахождении уравнений Эйлера с последующим их решением.

Пример 1.

Найти функцию у = u(х), удовлетворяющую условию

u(0) = u(1) = 0 (1.27)

и дающую минимум функционалу