Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці

і т.д.

Перетворені елементи третього (відміченого) стовпця отримуються за допомогою множення початкових елементів на = 0,5. Наприклад,

Відмітимо, що останній рядок матриці В повинен мати вигляд

0 0 1 0.

Для контролю поповнюємо матрицю В перетвореними по аналогічних двочленних формулах з відповідними елементами стовпця Σ. Наприклад,

Отримані результати записуємо в стовпці Σ' у відповідних рядках. Додавши до них елементи третього стовпця, одержимо контрольні суми

для рядків 5-8 (стовпець Σ).

Перетворення ,що проведене над матрицею і що дає матрицю , змінює лише третій рядок матриці В, тобто сьомий рядок таблиці. Елементи цього перетвореного рядка 7' виходять по формулі (10), тобто є сумами парних добутків елементів стовпця , що знаходяться в рядках 5-8, на відповідні елементи кожного із стовпців матриці В. Наприклад

і т. д.

Такі ж перетворення проводимо над стовпцем Σ:

В результаті одержуємо матрицю C, що складається з рядків 5, 6, 7', 8 з контрольними сумами Σ, причому матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок 8. Цим закінчується побудова першого подібного перетворення .

Далі, прийнявши матрицю C за вихідну і виділивши елемент (другий стовпець), продовжуємо процес аналогічним чином. В результаті одержуємо матрицю , елементи якої розташовані в рядках 9, 10', 11, 12, що містить два зведені рядки. Нарешті, відправляючись від елементу (перший стовпець) і перетворюючи матрицю D в подібну їй, одержуємо шукану матрицю Фробеніуса Р, елементи якої записані в рядках 13', 14, 15, 16. На кожному етапі процесу контроль здійснюється за допомогою стовпців Σ і Σ'.

Таким чином, матриця Фробеніуса буде мати вигляд:

Звідси віковий визначник, приведений до нормального виду Фробеніуса, запишеться так:

або

.

Виняткові випадки в методі А. М. Данілевського.

Процес А. М. Данілевського [1] відбувається без жодних ускладнень, якщо всі елементи, що виділяються, відмінні від нуля. Ми зупинимося зараз на виняткових випадках, коли ця вимога порушується.