Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці
,
причому виявилось, що 
.
Тоді продовжувати перетворення по методу А. М. Данілевського не можна. Тут можливі два випадки.
1. Нехай якийсь елемент матриці D, що стоїть ліворуч нульового елемента 
, відмінний від нуля, тобто 
, де
. Тоді цей елемент висуваємо на місце нульового елементу , тобто переставляємо (k-1) -й і k -й стовпці матриці D і одночасно переставляємо її (k-1) -й і l-й рядки. Можна довести, що одержана нова матриця D' буде подібна колишній. До нової матриці застосовуємо метод А.М.Данілевського.
2. Нехай 
, тоді D має вигляд
У такому разі віковий визначник det(D - lЕ) розпадається на два визначники
det (D - lЕ) = det (D1 - lЕ) det (D2 - lЕ).
При цьому матриця D2 вже приведена до канонічної форми Фробеніуса і тому det (D2 - lЕ) обчислюється відразу. Залишається застосувати метод А. М. Данілевського до матриці D1 .
Обчислення власних векторів по методу А. М. Данілевського.
Метод А. М. Данілевського [1] дає можливість визначати власні вектори даної матриці А, якщо відомі її власні значення. Неай l— власне значення матриці А, а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса Р.
Знайдемо власний вектор 
матриці Р, відповідний даному значенню l: Ру = lу. Звідси (Р - lЕ) у = 0 або
Перемножуючи матриці, одержимо систему для визначення координат 
власного вектора у:
(1)
Система (1) — однорідна. З точністю до коефіцієнта пропорційності розв’язки її можуть бути знайдені таким чином. Покладемо yn =1. Тоді послідовно одержимо:
(2)
Таким чином, шуканий власний вектор є
.
Позначимо тепер через х власний вектор матриці А, що відповідає значенню l. Тоді, очевидно, маємо:
.
Перетворення M1 , здійснене над y, дає:
Таким чином, перетворення М1 змінює лише першу координату вектора. Аналогічно перетворення М2 змінить лише другу координату вектора М1 у і т.д. Повторивши цей процес n-1 разів, одержимо шуканий власний вектор х матриці А.
2.2 Метод А. Н. Крилова
Приведемо метод розгортання вікового визначника, що належить А. Н. Крилову [1] і заснований на істотно іншій ідеї, ніж метод А. М. Данілевського.
Нехай
(1)
— характеристичний поліном (з точністю до знаку) матриці А. Згідно тотожності Гамільтона-Келі, матриця А обертає в нуль свій характеристичний поліном; тому