Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці

дану матрицю, а через

— подібну їй матрицю Фробеніуса, тобто

,

де S - особлива матриця.

Оскільки подібні матриці володіють однаковими характеристичними поліномами, то маємо:

det(A-lE)= det(P-lE). (3)

Тому для обґрунтування методу досить показати, яким чином, виходячи з матриці А, будується матриця Р. Згідно методу А. М. Данілевського, перехід від матриці А до подібної їй матриці Р здійснюється за допомогою т - 1 перетворення подібності, що послідовно перетворюють рядки матриці А, починаючи з останньої, у відповідні рядки матриці Р.

Покажемо початок процесу. Нам необхідно рядок

перевести в рядок 0 0 ... 1 0. Припускаючи, що , розділимо всі елементи (n-1) - го стовпця матриці А на . Тоді її n-й рядок прийме вигляд

.

Потім віднімемо (n-1) - й стовпець перетвореної матриці, помножений відповідно на числа , зі всієї решти її стовпців.

В результаті одержимо матрицю, останній рядок якої має бажаний вигляд 0 0 ... 1 0. Вказані операції є елементарними перетвореннями, що здійснюються над стовпцями матриці А. Виконавши ці ж перетворення над одиничною матрицею, одержимо матрицю

Де

при і ≠ n - 1(4)

І

.(4')

Звідси робимо висновок, що проведені операції рівносильні множенню справа матриці на матрицю А, тобто після вказаних перетворень одержимо матрицю

. (5)

Використовуючи правило множення матриць, знаходимо, що елементи матриці В обчислюються за наступними формулами:

(6)

(6')

Проте побудована матриця не буде подібна матриці А. Для того щоб мати перетворення подібності, потрібно обернену матрицю зліва помножити на матрицю В:

.

Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що обернена матриця має вигляд

(7)

Нехай