Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці
для п = 4 формула стає громіздкою.
Введемо тепер визначник довільного порядку п.
Впорядкована пара різних натуральних чисел (а,b) утворює інверсію (або порушення порядку), якщо . Будемо позначати число інверсій в парі (а,b) через
. Таким чином
Число інверсій в послідовності різних натуральних чисел визначається наступним чином:
Визначником (або детермінантом) матриці
Називається
де сумма поширюється на всілякі перестановки елементів
, Число п називається порядком визначника. В загальному випадку сума, що визначає детермінант порядку п, містить п! доданків, кожен з яких являє собою добуток п елементів визначника, взятих по одному з кожного рядка й з кожного стовпця (тобто після того, як в добуток вставляється елемент
більше в цей добуток не береться жодного елемента з j-го рядка та k-го стовпця). Знак в добутку визначається по вказаному вище правилу.
1.2 Власні значення та власні вектори матриці
Якщо А — квадратна матриця п-го порядку і при
, то число l називається власним значенням матриці, а ненульовий вектор х — відповідним йому власним вектором. Перепишемо задачу в такому вигляді
(1)
Для існування нетривіального розв’язку задачі (1) має виконуватися умова
(2)
Цей визначник являє собою многочлен п-ї степені від l; його називають характеристичним многочленом. Значить, існує п власних значень — коренів цього многочлена, серед яких можуть бути однакові (кратні).
Якщо знайдено деяке власне значення, то, при підстановці його в однорідну систему (1), можна визначити відповідний власний вектор. Будемо нормувати власні вектори[1] . Тоді кожному простому (не кратному) власному значенню відповідає один (з точністю до напрямку) власний вектор, а сукупність всіх власних векторів, що відповідають сукупності простих власних значень, лінійно-незалежна. Таким чином, якщо всі власні значення матриці прості, то вона має п лінійно-незалежних власних векторів, які утворюють базис простору.
Кратному власному значенню кратності р може відповідати від 1 до р лінійно-незалежних власних векторів. Наприклад, розглянемо такі матриці четвертого порядку:
(3)
В кожної з них характеристичне рівняння приймає вигляд , а отже, власне значення
і має кратність р=4. Проте в першої матриці є чотири лінійно-незалежних власних вектора
(4)
У другої матриці є тільки один власний вектор е1 . Другу матрицю називають простою жордановою (або класичною) підматрицею. Третя матриця має так звану канонічну жорданову форму (по діагоналі стоять або числа, або жорданові підматриці, а інші елементи дорівнюють нулеві).
Таким чином, якщо серед власних значень матриці є кратні, то її власні вектори не завжди утворюють базис. Однак і в цьому випадку власні вектори, що відповідають різним власним значенням, являються лінійно-незалежними.[3, стор 156]
При розв’язуванні теоретичних і практичних задач часто виникає потреба визначити власні значення даної матриці А, тобто обчислити корені її вікового (характеристичного) рівняння
det(A - lE) = 0 (2)
а також знайти відповідні власні векторі матриці А. Друга задача є простішою, оскільки якщо корені характеристичного рівняння відомі, то знаходження власних векторів зводиться до відшукання ненульових розв’язків деяких однорідних лінійних систем. Тому ми в першу чергу будемо займатися першою задачею — відшуканням коренів характеристичного рівняння (2).
Тут в основному застосовуються два прийоми: 1) розгортання вікового визначника в поліном n-го степеня
D(l) = det(A - lE)