Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці

Розгортання вікового визначника.

Як відомо, віковим визначником матриці А = [a_ij ] називається визначник вигляду

D(l) = det(A - lE) = (1)

Прирівнюючи цей визначник до нуля, одержуємо характеристичне рівняння

D(l) = 0

Якщо потрібно знайти все коріння характеристичного рівняння, то доцільно заздалегідь обчислити визначник (1).

Розгортаючи визначник (1), одержуємо поліном n-го степеня

(2)

Де

є сума усіх діагональних мінорів першого порядку матриці А.

є сума всього діагонального мінору другого порядку матриці А;

— сума всіх діагональних мінорів третього порядку матриці А і т.д. Нарешті

s_n = det A.

Легко переконатися, що число діагональних мінорів k-го порядку матриці А дорівнює

(k = 1, 2, …, n ).

Звідси одержуємо, що безпосереднє обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома (2) еквівалентно обчисленню

визначників різних порядків. Остання задача, взагалі кажучи, технічно важко здійснена для скільки-небудь великих значень n. Тому створені спеціальні методи розгортання вікових визначників (методи А. Н. Крилова, А. М. Данілевського, Леверье, метод невизначених коефіцієнтів, метод інтерполяції та ін.).

Розділ ІІ. Знаходження власних векторів і власних значень матриць

2.1 Метод А. М. Данілевського

Суть методу А. М. Данілевського [1] полягає в приведенні вікового визначника до так званого нормального виду Фробеніуса

. (1)

Якщо нам вдалося записати вікового визначника у формі (1), то, розкладаючи його по елементах першого рядка, матимемо:

Або

. (2)

Таким чином, розгортання вікового визначника, записаного в нормальній формі (1), не представляє труднощів. Позначимо через