Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці

Числа m і n називаються порядками матриці. У випадку, якщо m = n, матриця називається квадратною, а число m = n — її порядком. [2, стор. 10]

Щоб записати матрицю, виписують належним чином позначення її елементів та отриману таблицю беруть в дужки або обмежують подвійними лініями.

Таким чином, загальний вигляд матриці розмірності (m, n) буде таким

, , ,

де a_ij — позначення елементів з множини C. Часто замість такого докладного запису вживають скорочений: || a_ij || або || a_ij ||_m,n .

Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною, а кількість її рядків, що дорівнює кількості стовпців, називається порядком квадратної матриці.

Матрицю, що має тільки один рядок, називають просто рядком матриці, а кількість його елементів — довжиною рядка. В подальшому матриці будуть позначатися великими літерами латинського алфавіту.

Дві матриці називаються рівними, якщо кількість рядків і стовпців у них відповідно рівні та якщо рівні числа, що стоять на відповідних місцях цих матриць. Таким чином, одна рівність між (m, n)-матрицями рівносильна системі mn рівностей між їх елементами.

Основними матричними операціями є множення числа на матрицю або матриці на число, додавання та перемноження двох матриць. За означенням, для того щоб помножити число α на матрицю А або матрицю А на число α, необхідно помножити α на всі елементи матриці А. Наприклад,

Матриця всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею і позначається О. Якщо бажають вказати явно кількість рядків і стовпців нульової матриці, то пишуть О_mn .

Блочні матриці. Припустимо, що деяка матриця за допомогою горизонтальних і вертикальних прямих розбита на окремі прямокутні клітини, кожна з яких являє собою матрицю менших розмірів і називається блоком вихідної матриці. В такому разі виникає можливість розгляду вихідної матриці А як деякої нової (так званої блочної) матриці , елементами слугують вказані блоки.

Наприклад, матрицю

можна розглядати як блочну матрицю , елементами якої слугують наступні блоки:

Цікавим є той факт, що основні операції з блочними матрицями здійснюються за тими ж правилами, по яким вони здійснюються зі звичайними числовими матрицями, тільки в ролі елементів виступають блоки. [2, стор. 15]

Для довільної матриці А та довільних α, β мають місце такі співввідношення:

1.

2.

3.

Сумою двох матриць А і В, що мають відповідно рівну кількість рядків і стовпців, називається матриця, що має ту ж кількість рядків і стовпців і елементи, які дорівнюють сумам відповідних елементів матриць А, В. Наприклад,

З цього визначення витікають співвідношення:

4.

5.

6.

7.

8.