Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці

Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор

.

Множачи обидві частини рівності (2) справа на , одержимо:

. (3)

Покладемо:

; (4)

тоді рівність (3) набуває вигляду

(5)

або

(5’)

Де

Отже, векторна рівність (5) еквівалентна системі рівнянь

(6)

з якої, взагалі кажучи, можна визначити невідомі коефіцієнти .

Оскільки на підставі формули (4)

,

то координати вектора послідовно обчислюються за формулами

(7)

Таким чином, визначення коефіцієнтів p_j характеристичного полінома (1) методом А. Н. Крилова зводиться до розв’язання лінійної системи рівнянь (6), коефіцієнти якої обчислюються за формулами (7), причому координати початкового вектора

довільні. Якщо система (6) має єдиний розв’язок, то її корені р₁ , р₂ . . ., р_n є коефіцієнтами характеристичного полінома (1). Цей розв’язок може бути знайдено, наприклад, методом Гауса. Якщо система (6) не має єдиного розв’язку, то завдання ускладнюється. В цьому випадку рекомендується змінити початковий вектор.

Приклад. Методом А. Н. Крилова знайти характеристичний поліном матриці

Розв’язання. Виберемо початковий вектор

Користуючись формулами (7), визначимо координати векторів

.

Маємо: