Научная работа: Применение неравенств при решении олимпиадных задач

Так как точки А₁ , А₂ , …, А_n принадлежат надграфику выпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибо надграфик – выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньше ординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е.

. (2)

???. 1

Для завершения доказательства остаётся положить m₁ = α₁ , …, m_n = α_n .

Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процессе доказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самом деле эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1) (i=1, 2, ..., n), мы получаем неравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называются неравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако для приложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функция вогнутая, то для неё неравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выпуклую функцию .

Неравенство Коши-Буняковского

На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого впечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатление обманчиво.

Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретном примере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского , где a₁ , a₂ , …, a_n , b₁ , b₂ , …, b_n – произвольные положительные числа.

Доказательство:

Как мы знаем, функция - выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Йенсена (2):

, (m_i >0).

Следовательно, . Положив , получим требуемое неравенство.

Неравенство Коши

При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.

Пусть x₁ , x ₂ , …, x_n – неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число –

.

Средним геометрическим чисел x₁ , x ₂ , …, x_n называется число –

_.

Теорема 1. Если x₁ , x ₂ , …, x_n – неотрицательные числа, то имеет место неравенство

. (1)

Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства

. Действительно, , откуда

. (2)

Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x₁ =x₂ .

Пусть x₁ , x ₂ , …, x_n – положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число –

.

Теорема 2. Если x₁ , x ₂ , …, x_n – положительные числа, то имеют место неравенства

A_n ≥G_n ≥ H_n .

Действительно, применяя к числам неравенство Коши, получаем