Научная работа: Применение неравенств при решении олимпиадных задач

Пусть a+b+c=1. Доказать, что .

Решение:

Из неравенства Коши-Буняковского имеем

.

А отсюда имеем, что .

Неравенство Коши

Задача:

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна единице. Доказать, что

(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c).

Решение:

Поскольку a+b+c=1, то 1+a= (1-b)+(1- c). Используя неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим , получаем

.

Аналогично

,

.

Перемножая все три неравенства, получаем искомое неравенство.

Неравенство Бернулли

Задача:

Решить уравнение

.

Решение:

К каждому слагаемому левой части уравнения применяем неравенство Бернулли, тогда

,

причем равенство возможно лишь при , т.е. x=±1. Следовательно, x=±1 – корни уравнения.

Весовое (общее) неравенство Коши

Задача 1:

Для действительных положительных чисел a, b доказать неравенство .

Решение:

По весовому неравенству Коши (), имеем