Научная работа: Применение неравенств при решении олимпиадных задач

откуда G_n ≥ H_n .

Пусть x₁ , x ₂ , …, x_n – произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число –

.

Теорема 3. Если x₁ , x ₂ , …, x_n – положительные числа, то имеют место неравенства

K_n ≥ A_n ≥ G_n ≥ H_n , или

. (4)

Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Для двух чисел неравенство (4) можно записать как

,

которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,

аналогично доказывается и для n чисел, откуда K_n ≥ A_n .

Неравенство Бернулли

Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач – это использование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчить задачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом:

Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место

(1)

причем равенство в (1) достигается при x=0, n=0 или n=1.

Однако кроме (1) существует и более общее неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если n<0 или n>1, то

, (2)

если 0<n<1, то

, (3)

где x > -1.

Следует отметить, что равенства (2) и (3) имеют место лишь при x=0.

Доказательство(I способ):

, где x_i – числа одного и того же знака и .

Применяем метод математической индукции.

Проверяем неравенство для n=1: . Неравенство верно.

Пусть неравенство верно для n членов, т.е. верно неравенство