Научная работа: Применение неравенств при решении олимпиадных задач

Для завершения доказательства осталось учесть очевидное неравенство . Равенство достигается приa=b.

Задача 2:

Для произвольных a,b≥0 доказать неравенство

(1).

Решение:

По весовому неравенству Коши имеем, что

.

Добавляя к указанному неравенству аналогичное

получаем

,

что и требовалось доказать. Равенство в (1) достигается при a=b.

Понятно, что решение этой задачи состоит из двух ключевых идей. Первая – это неравенство (2). Вторая – переход от неравенства (2) к неравенству (1).

Что касается неравенства (2), то пока ещё не понятно, как можно было «угадать», что для решения задачи надо было использовать неравенство Коши именно с такими весовыми коэффициентами m₁ =7, m₂ =4, m₃ =1.

Покажем, что эти коэффициенты можно найти (именно так они и были найдены) с помощью стандартной процедуры: «метода неопределённых коэффициентов». Неравенство (2) будем искать из таких соображений. Рассмотрим весовое неравенство Коши

. (4)

Подберём весовые коэффициенты m₁ , m₂ , m₃ так, чтобы в правой части неравенства (4) получить a³ b. Для этого достаточно решить систему

(5)

Кроме этого, если к (4) добавить аналогичное неравенство (в решении задачи это было неравенство (3))

, (6)

то получим

. (7)

Следовательно, чтобы неравенство (7) совпало с неравенством в задаче, к системе (5) надо прибавить еще два равенства

(8)

Решая систему (8), имеем m₁ =7 m₃ , m₂ =4 m₃ . При таком подборе m₁ , m₂ , m₃ неравенство (4) становится неравенством (2), неравенство (6) – неравенством (3), а неравенство (7) – неравенством (1).

Подводя итоги сказанному, мы видим, что для доказательства неравенства типа (1) записываем общее весовое неравенство Коши с неопределенными весовыми коэффициентами, где слева стоят все слагаемые левой части, а справа – одно слагаемое правой части искомого неравенства. Подбираем неопределенные коэффициенты (путем решения соответствующей системы равенств) так, чтобы после симметризации весового неравенства найти решение задачи.

3.3 Сборник задач

Упражнение 1. Неравенство Йенсена:

1.Докажите неравенство , (подсказка: ).

2.Докажите неравенство , где .