Научная работа: Решение алгебраического уравнения n-ой степени

i- порядковый номер корня уравнения, i = 1, n;

j- квадратный корень из ( - 1), мнимая величина.

Выражение COS (2* (i - 1) *PI/ n) + j*SIN (2* (2* (i - 1) *PI/ n) задаёт корни уравнения

( (x**n) - 1) / (x- 1) = 1 + x + (x**2) + … + (x** (n- 1)) = 0.

Последнее представляет собой выражение для суммы nчленов геометрической прогрессии с основанием x.

Чирнгаузу удалось решить таким образом уравнение при n = 3, но в общем случае приём к цели не приводил. Лейбниц, которому Чирнгауз сообщил письмом в 1677 году идею метода, заметил, что ничего не получается даже для уравнения пятой степени.

Исаак Ньютон (1643 - 1727) после безуспешных попыток точно решить уравнение пятой степени разработал приближённый метод численного определения действительного корня алгебраического уравнения произвольной степени, получивший его имя и используемый до сих пор (так называемый метод касательных Ньютона). Суть метода заключается в следующем: Предположим, что действительный корень заданного алгебраического уравнения y1 находится в интервале (a, b).

Вычисляют значение алгебраической функции F (a) или F (b), ( F (a) = (a**n) + A1* (a** (n- 1)) + A2* (a** (n- 2)) + …+ An), записывают уравнение касательной в этой точке и определяют точку пересечения касательной с осью абсцисс, которой присваивают новое значение a или b.

Процесс вычислений выполняют до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности вычислений EPS (y1 = aили y1 = b в зависимости от того с какой стороны (слева или справа) решено приблизиться к корню y1).

Метод всегда сходится, но НИЧЕГО не говорит об оптимальных значениях коэффициентов уравнения, которые непосредственно связаны с параметрами Систем.

Следующий этап развития теории решения уравнений связан с творчеством Леонарда Эйлера (1707 - 1783), который, как и все предшественники, считал возможным решение уравнений любой степени.

Эйлер установил, что уравнения второй, третьей, четвёртой степеней сводятся к уравнениям первой, второй и третьей степеней, которые он назвал "разрешающими уравнениями", резольвентами.

Резольвенту приведённого кубического уравнения (x**3) + B2* x+ B3 = 0, Эйлер получил, положив

x = (A** (1/ 3)) + (B** (1/ 3)).

Для приведённого уравнения четвёртой степени (x**4) + B2* (x**2) + B3*x + B4 = 0, он рекомендовал подстановку

x= (A** (1/ 4)) + (B** (1/ 4)) + (C** (1/ 4)).

Тем самым он открыл ДРУГОЙ способ решения уравнения четвёртой степени, отличный от решения Феррари.

Эйлер полагал, что приведённое уравнение n-ой степени

(x**n) + B2* (x** (n - 2)) + B3* (x** (n - 3)) + … + Bn = 0,

может быть решено с помощью подстановки

x= (A** (1/ n)) + (B** (1/ n)) + … + (G** (1/ n)),

где число слагаемых равно (n- 1). Им использовались и другие подстановки. Однако уравнение выше четвёртой степени Эйлеру решить не удалось.

При доказательстве невозможности решения уравнения пятой степени Н.Х. Абель (1802 - 1829) опирался на предложенную Эйлером подстановку

x = w + A* ( (v** (1/ 5)) + B* ( (v** (2/ 5)) + C* ( (v** (3/ 5)) + D* ( (v** (4/ 5)),

применив опыт великого Математика в своей работе.

Феликсом Клейном (1849 - 1925) написана монография / 3/, в которой наиболее полно показана сложность нахождения точного решения уравнения пятой степени. Книга содержит 336 страниц текста, а решения - нет! Оговорюсь сразу, что я вовсе не собираюсь принижать вклад Великих математиков в Науку, напротив, преклоняюсь перед их Волей и Настойчивостью при решении столь сложной Задачи. Они, как все лучшие представители Человечества, опережали своё Время. При отсутствии средств вычислительной техники все попытки были обречены: не было не только персональных компьютеров, но даже простых калькуляторов. Точность вычислений на логарифмической линейке для этой цели оставляла желать лучшего.

Мне удалось решить алгебраическое уравнение n- ой степени в радикалах , но Решение это - приближённое и требует вычислений с высокой степенью точности. За всё надо платить, бесплатно НИЧЕГО не даётся! Для определения корней уравнения не требуется знание интервала, где алгебраическая функция меняет свой знак (интервала нахождения действительного корня), что отличает разработанный Метод решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n- ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с любой степенью точности, если мощность персонального компьютера позволяет избежать влияния погрешностей округления на вычисления.

Отметим также, что с Решением Векового уравнения решаются Проблемы собственных значений при вычислении Функций от Матриц и Устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений, описывающих движения сложных технических Объектов с постоянной и переменной структурой (например, вентильных преобразователей). В любом учебнике по Теории Автоматического Управления / 4/ можно прочитать: Решение линейного дифференциального уравнения устойчиво, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней. Решение разностного уравнения устойчиво, если все корни характеристического уравнения находятся внутри круга единичного радиуса на комплексной плоскости с центром в начале координат.

Оптимальное управление Системами требует отдельного рассмотрения. Скажу лишь, что Оптимальные параметры Систем могут быть достигнуты на Границе устойчивости.