Научная работа: Решение алгебраического уравнения n-ой степени

J = 0, Bi = Ai, xc = x.

J = 1, Ci = Ai, xc = (x**2).

J = 2, Ci = Bi для J = 1, xc = (x**4).

………………………………………….

Пусть L = (2**J) - величина степени корня xc1 на J-ом шаге преобразования,

xc1 = (x1**L).

Как уже отмечалось выше, на определённом шаге преобразований Jвсе коэффициенты уравнения (2), кроме первых двух B1 и B2, становятся пренебрежительно малы и их можно отбросить. Тогда корень xc1 может быть найден из квадратного уравнения, получаемого путём отбрасывания ничтожно малых старших коэффициентов. (Не следует забывать, что исходное уравнение (1) уже нормировано по старшему коэффициенту An).

(xc1**2) + D1* (xc1) + D2 = 0, (3)

D1 = B1, D2 = B2 - для прямого уравнения,

D1 = (Bn-1) / Bn, D2 = (Bn-2) / Bn - для обратного уравнения.

Совершенно очевидно

xc1 = ( - D1/ 2) + ( ( ( - D1/2) **2) - D2) ** (1/ 2),

или

xc1 = ( - D1/ 2) - ( ( ( - D1/ 2) **2) - D2) ** (1/ 2), (4)

Корень исходного уравнения

x1 = (xc1** (1/L)). (5)

Если алгебраическая Функция при вычисленном значении корня x1 F (x1) не удовлетворяет Критерию окончания Счета, переходят к следующему шагу преобразования (J присваивают значение J + 1) до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений EPS.

Уместно отметить, что величина xc1 может быть как действительной, так и комплексной величиной. При вычислении корня x1 следует подвергать Проверке ВСЕ КОРНИ степени L из переменной xc1:

Если xc1 - комплексная величина (общий случай), тогда

PI = 3.141592653589793, I2 = 1, L

Mod xc1 = SQRT ( (Re xc1) **2) + ( (Im xc1) **2)),

Fi xc1 = ARCTAN (Im xc1, Re xc1),

Re x1 = ( (Mod xc1) ** (1/L)) *COS ( ( (Fi xc1) /L) + (2*PI/L) *I2),

Im x1 = ( (Mod xc1) ** (1/L)) *SIN ( ( (Fi xc1) /L) + (2*PI/L) *I2).

Теорема:

Для любого алгебраического уравнения при заданной степени точности EPS всегда существует такая величина J, при которой корень квадратного уравнения (3) совпадает с одним из корней исходного уравнения (1).

При выборе формулы расчёта следует помнить, что

Если I1 = 1 или I1 = 2, то вычисление xc1 осуществляется по формуле (3) для прямого уравнения (2).

Если I1 = 3 или I1 = 4, то вычисление xc1 происходит по формуле (3) для уравнения, обратного уравнению (2).