Реферат: Интеграл и его применение

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838—1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875—1941) и А. Данжуа (188 4—1974), со ветским математиком А. Я. Х инчинчин ым (1894—1959).

Определение и свойства интеграла

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CÎR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx.

òf(x)dx = F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная на промежутке J.

f – подынтегральная функция, f(x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

(òf(x)dx) ¢ = òf(x)dx ,

òf(x)dx = F(x)+C, где F¢(x) = f(x)

(òf(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)

òf¢(x)dx = f(x)+C– из определения.

ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx

если k – постоянная и F¢(x)=f(x),

ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx

ò ( f(x)+g(x)+...+h(x) )dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx

ò ( f(x)+g(x)+...+h(x) )dx = ò [F ¢(x)+G ¢(x)+...+H ¢(x)]dx =

= ò [F(x)+G(x)+...+H(x)] ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=

= òf(x)dx + òg(x)dx +...+ òh(x)dx, где C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

Примеры:

1. òxÖ(3x2–1)dx;

Пусть 3x2–1=t (t³0), возьмем производную от обеих частей: