Реферат: Интеграл и его применение

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина

dA=Fds

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f–непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) –непрерывна, то при малом [a;x1] работа силы на этом отрезке равна f(a)(x1–a). Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2–x1), на n-ом отрезке — f(xn–1)(b–xn–1). Следовательно работа на [a;b] равна:

А »An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n®¥

b

А = lim [(b–a)/n] ( f(a)+...+f(xn–1))= òf(x)dx (по определению)

n®¥a

Пример.

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой –F(s) упругость пружины при её сжатии, то

l/2

Eп = A= – ò (–F(s)) dx

0

Из курса механики известно, что F(s)= –Cs.

Отсюда находим

l/2 l/2

Еп= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

0 0

Ответ: Cl2/8.

Координаты центра масс

Центр масс – точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a£x£b; 0£y£f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на [a;b], а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

b b

x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) ò f 2(x) dx;

aa

Примеры.

Центр масс.