Реферат: Интеграл и его применение

xdx=dt/6

3

ódt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ———Ø

ô— t 2 = — ô t 2dt = – ——– + C = —Ö 3x2–1 +C

õ 6 6 õ 6 3 9

2. t

ò sin x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C

4

Пусть cos x = t

-sin x dx = dt

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

Примеры :

ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C

ó x4+3x2+1 ó 1 1

ô———— dx = ô( x2+2 – ——– ) dx = — x2 + 2x – arctg x + C

õx2+1 õx2+1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

По частям

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x)

u’(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v’(x)

Проинтегрируем обе части

òu’(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))’dx – òu(x)v’(x)dx

ò u’(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v’(x)dx

Примеры:

ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C

x = u(x)

cos x = v’(x)

Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.