Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной , используя параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть <= t<=?????? ? ????? ???? ???????????? ??????? .

Пусть и удовлетворяют условию : [‘(t)]² + [‘(t)]²  0. Очевидно, что задание координат  =tи (t), равносильно заданию комплексной функции  (t)= (t) i(t).

Пусть в каждой точке  (t) кривой С определена некоторая функция f ( ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления ₀ , ₁ , ₂ , …, _n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t₀, t₁, …, t _i+1 > t _i.

 _i = _i –  _i-1. Составим интегрируемую функцию S = f (*) _i . (1)
где *– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max | _i | 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек  _i , то этот предел называется интегралом от функции f ( ) по кривой С.

(2)

f (_i* ) = u (P_i*) + iv (P_i*) (3)

где  _i = (t) i(t) ((t) и(t) - действительные числа)

Подставив (3) в (1) получим :

(4)

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при  и  0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О
ограниченности интеграла.

П
ри этом z =  ( ).

7.) Пусть Cp – окружность радиуса , с центром в точке Z₀. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp :  = Z₀ + e^i, 0    2, d = ie^i d .

К
усочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--