Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений : Пусть 
– функция оригинал, которая имеет изображение 
и 
также оригинал, а 
- является сходящимся интегралом, тогда 
.
Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
(1)
Свертка обозначается следующим образом :
(1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
Теорема о умножении изображений. Пусть 
и 
, тогда произведение изображений 
представляется сверткой оригиналов 
.
Доказательство :
Пусть изображение свертки 
(1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что 
, тогда 
.
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
(2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.
- Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
, где s – некоторая константа.