Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

(2) – разложение в ряд Тейлора.

Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z₀ |

Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.

(3)

(4)

(5)

Причем | Z | < R, R  .

Формулы ЭЙЛЕРА.

Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;

(6)

Аналогично взяв Z = - ix получим :

(7)

Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :

(8)

В общем случае :

(9)

Известно, что :

(10)

Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:

Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.

ТЕОРЕМА 1.