Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом.

Если не существует, то точка Z=Z₀ называется существенной особой точкой.

Если С_-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.

Пусть f(Z₀)=C₀ и C_-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n  m+1 C_-n=0, тогда Z=Z₀ будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

, если m  , то в этом случае в точке Z=Z₀ имеем существенную особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z₀| , где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z₀. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z₀ равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана :

Если полюс имеет кратность m  1, то для определения вычетов используется формула :

(3)

при m=1 :

Основная теорема о вычетах.

Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a₁, a₂, …, a_k.  –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл равен сумме вычетов относительно a₁, a₂, …, a_k и т.д. умноженный на 2i :

(5)

Пример :

Найти вычет

Особые точки : Z₁=1, Z₂= - 3.

Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.

Используем формулу (3) :

Интегральные преобразования.

Операционное исчисление и некоторые его приложения.

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

1. 

2. Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

3. Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S00 такие, что выполняется условие : |f(t)|S^0t