Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

( 6 )

(7)

Устремим _ 0, т.е.  0.

Тогда т.к. функция f() аналитична в точке Z=Z₀ и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех >0 существует >0, что для всех  из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z₀) | < .

(8)

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

П
одставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :

(9)

Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z₀ через ее значение на произвольном контуре  , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z₀ внутри.

Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы  в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z₀ на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z₀ принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z₀ принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

П
ри Z₀  Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования  и Z₀. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z₀.

Пусть задана функция двух комплексных переменных  (Z,  ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i  С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция  (Z,  ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений  С является аналитической в области G. 2) Функция  (Z,  ) и ее производная  являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и  при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :

И
нтеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :

(2)

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :

(3)

С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.