Реферат: Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Теоремы разложения.

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.

Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : .

Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни ₁, ₂, …,  _n соответствующий кратности k₁, k₂, …, k_n , при этом k₁+ k₂ +…+ k_n = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :

(3)

Например :

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид :

(1)

На f(t) наложены условия :

1. f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (- ;  )

2. f(t) 0 , t  (-  ;0)

3. При M, S₀ >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|S^0t

Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1