Реферат: Исследование функции с помощью производной
y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная.
Пример 5. Определить вид функции y=x4 -2x2 +2.
y=x4 -2x2 +2, D(y)=R.
y(-x)=(-x)4 -2(-x)2 +2=x4 -2x2 +2=y(x) – четная.
Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.
y=2sin2x, D(y)=R
y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – нечетная.
Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.
y=3x+1/3x
y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная.
Пример 4. Пример 5.
Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).
Пример 8. Определить период функции y=cos2x.
cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где2T=2π, т.е. Т=π.
Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.
Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x.
f(x)=sin2x,
sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.
2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.
Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.
Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2 >х1 , выполнено неравенство f(x2 )>f(x1 ).
Функция fубывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2 >х1 , выполнено неравенство f(x2 )<f(x1 ).
Иными словами, функция fназывается возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция fназывается убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (xmin ) и максимума (xmax ).
Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x0 ).