Реферат: Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами

Лемма доказана.

Определение 5. Если измеримая периода (b-a ) функция f (x )ÎL_q (L_q -класс всех вещественных измеримых на [a,b ] функции f (x )), то под её интегральным модулем гладкости порядка k ³1 понимают функцию

Лемма 3. Если то справедливо

(1.7)

Доказательство. В самом деле,

и так далее. Лемма доказана.

Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [a,b ], то под её модулем гладкости порядка k ³1 понимают функцию

заданную для неотрицательных значений и в случае, когда k =1, представляющую собой модуль непрерывности.

Свойства модулей гладкости:

1.

2.есть функция, монотонно возрастающая;

3.есть функция непрерывная;

4.При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство

(1.8)

а при любом -неравенство

(1.8’)

5) Если функция f (x )имеет всюду на [a,b ] непрерывные производные до (r- 1)-го порядка, и при этом (r-1 )-я производная , то

(1.9)

Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что

2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.

3) Предполагая для определённости, что d > d’ , получим

Этим непрерывность функции w_k (d ) доказана.

4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем

Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции w_k (t ) и неравенства (1.8).