Реферат: Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами

и

Таким образом

и так как при , то отсюда вытекает непрерывность функции , и лемма доказана.

ЛЕММА 4. Пусть k и p -натуральные числа. Тогда для любого d ³0

(2.5)

Доказательство: Индукция по k даёт формулу

Отсюда

и

Лемма доказана.

ЛЕММА 5. Пусть k -натуральное число, d >0,h >0.Тогда

(2.6)

Если кроме того 0<d <h ,то

(2.7)

Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для h £ d . Найдём натуральное число p из условий

(2.8)

Тогда h <p d ^-1 , и так как -является неубывающей функцией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим

Рассмотрим случай для h < d . Найдём натуральное число p из условий

(2.9)

Тогда h <p d , и так как -является неубывающей функцией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим

,

и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как d + h £ 2 h для 0<d <h .

Неравенство (2.7) показывает, что для любой f º0 и любого натурального k