Реферат: Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами

Определение 7. Пусть k -натуральное число. Будем говорить, что функция есть модуль непрерывности k -го порядка функции f , если

где -конечная разность функции f k -го порядка с шагом h :

Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k= 1 и k= 2. Случай k= 1 является классическим; вместо мы будем писать просто и называть эту функцию модулем непрерывности ; функцию мы будем называть модулем гладкости .

Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция -есть функция сравнения k- го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:

1.определена для ,

2.не убывает,

3.,

4.

Нетрудно показать, что если f º0, то есть функция сравнения k- го порядка (см. Лемму 5 §2).

Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k -го порядка . Будем говорить, что функция f принадлежит к классу , если найдётся константа С₁₀ >0 такая, что

Вместо будем писать просто H_k ^a .

Если для последовательности функций {f_n } (n=1,2,...)

где С₁₀ не зависит от n , то будем писать: равномерно относительно n .

Понятие классов является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k -ю производную.

Определение 10. Зафиксируем число a >0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a (p=- [-a ]). Будем говорить, что функция принадлежит к классу , если она

1) есть функция сравнения p -го порядка и

2) удовлетворяет условию: существует константа С₁₁ >0 такая, что для

Условие 2) является небольшим ослаблением условия « не убывает». Функции класса N ^a будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении.

Определение 11. Будем говорить, что функция имеет порядок , если найдутся две положительные константы С₁₂ и С₁₃ такие, что для всех t , для которых определены функции и ,

.

При выполнении этих условий будем писать

.

Определение 12. Ядром Дирихле n -го порядка называется функция