Реферат: Матрицы и определители 3

6.

7. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

8. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой сроки (столбца) равно 0.

Свойства 1), 2), 8) доказываются непосредственно полным раскрытием определителя. Докажем 3).

Если раны нулю все элементы 1-ой сроки, то по определению

D = 0^. А₁₁ + 0^. А₁₂ + 0^. А₁₃ = 0.

Если нулю равны все элементы другой сроки, то поменяв ее местами с первой (что может повлиять лишь на знак определителя), мы сведем дело к предыдущему. Свойства 4), 6) читатель докажет самостоятельно, используя понятия определителя.

Доказательство 5). Если поменять местами одинаковые строки, то, с одной стороны, определитель не измениться, а с другой – на основании св. 2, он поменяет знак, т.е.

D = -DÞ 2D = 0 ÞD = 0.

Доказательство 7) следует теперь из 6) и 5).

9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

.

Доказательство. Раскладывая D по элементам 1-го столбца, получаем произведение ведущего элемента а₁₁ на определитель такого же вида (n-1)-го порядка с ведущим элементом а₂₂ . Раскладывая этот определитель по элементам 1-го столбца, имеем произведение а₂₂ на определитель такого же вида (n-2)-го порядка. Это значит, что D равен произведению а₁₁ ^. а₂₂ на этот новый определитель. Продолжая этот процесс необходимое число раз, приходим к равенству D = а₁₁ ^. а₂₂ ^. а₃₃ ^. … а_nn .

Сформулируем без доказательств еще один важный факт.

ТЕОРЕМА 1.1. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то

D(А^. В) = D(А) ^. D(В).

СЛЕДСТВИЕ. D(А^. В) =D(В^. А).

Глава 3. Обратная матрица.

Существование и структура обратной матрицы.

Матрица А^-1 называется обратной к квадратной матрице А, если

А^. А^-1 = А^-1. А = Е.

ТЕОРЕМА 1.2. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невыраженной, т.е. чтобы D(А) ¹ 0.

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: D(А) ¹ 0. Докажем, что обратной к матрице А является матрица

.

В самом деле,

Каждый из элементов главной диагонали равен определителю D(А), ибо представляет собой сумму произведений элементов одной из строк матрицы на свои алгебраические дополнения. Все остальные числа в результирующей матрице равны нулю на основании второй части свойства 8).

Поэтому,

Совершенно аналогично доказывается, что А^. А^-1 = Е.

Это завершает доказательство достаточности.

НЕОБХОДИМОСТЬ . Дано, что матрица А^-1 существует. Надо доказать, что

D(А) ¹ 0. Допуска, что D(А) = 0, мы бы получили из равенства А^. А^-1 = Е,