Реферат: Матрицы и определители 3

Запишем теперь матрицу .

Пример 4 . Пусть А и В – матрицы из примера 6. Вычислить произведение ВА=Д, проверить, будут ли матрицы А и В перестановочны.

.

Выпишем формулы для вычисления элементов i = 1,2; j = 1,2 матрицы Д:

d₁₁ = a₁₁ b₁₁ + b₁₂ a₂₁ , d₁₂ = b₁₁ a₁₂ + b₁₂ a₂₂ ,

d₂₁ = b₂₁ a₁₁ + b₂₂ a₂₁ , d₂₂ = b₂₁ a₁₂ + b₂₂ a₂₂ .

Подставим в эти формулы числовые значения

d₁₁ = 4, d₁₂ = -2, d₂₂ = 1, и матрица D=ВА имеет вид

Очевидно, АВ ¹ ВА, т.е. от перестановки сомножителей произведение изменилось, т.е. матрицы А и В не перестановочны.

Пример 5 . Найти произведение С матрицы А на вектор – столбец .

.

Умножение возможно, т.к. вектор можно рассматривать как матрицу, имеющую 3 строки и 1 столбец, а матрица А имеет 3 столбца, и число ее столбцов равно числу строк вектора . Произведение С = А будет иметь порядок 4^. 1, т.е. будет вектором-столбцом с элементами с₁₁ , с₂₁ , с₃₁ , с_41.

с₁₁ = 1^. 4-1^. 2+0 = 2; с₂₁ = 0^. 4+2^. 2-4^. 1 = 0;

с₃₁ = 4+2 = 6; с₄₁ = -4+4 = 0.

.

Таким образом, если умножение возможно, то произведение матрицы на вектор будет вектором.

Примеры решения задач на вычисление определителей.

Теория изложена в главе 2 §1.

Пример 1 . Вычислить определитель .

Вычислим по правилу Саррюса

D = 1(-1) ^. (-5)+(-2)(-4)0+4(-3)3-0(-1)3-4(-2)(-5)-(-3)(-4)1=5+0-36+0-40-12=-83.

Пример 2 . Вычислить определитель примера 1 разложением по первой строке.

Найдем алгебраические дополнения.

D = 1^. (-7)+(-2)20+3(-12)=-7-40-36=-83.

Пример 3 . Вычислить определитель 4^го порядка.

.

Найдем алгебраические дополнения А₁₂ , А₁₃