Реферат: Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

Способыточного решения задачи (1) выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса , при сколько-нибудь больших и становится неудобным и не применяются.

Решение U (x,y) Задачи (2) можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке ( x,y ) пластинки, находящейся в теплолвом равновесии. Функция j (x,y) и Y (s) означаютв таком случае соответственно распределения источников тела и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла:

dV = d² V + d² V - j (x,y)

dt dx² dy²

V | г = Y (s) (3)

V (x,y,0) = Y ₀ (x,y)

где j иY те же что и в задаче (2) , а Y ₀ (x,y) - произвольная.

Поскольку источники теплп j (x,y) и температура на границе Y (s) не зависит от времени, то естественно, что и решение V (x,y,t) с течением времени будет менятся всё медленнее, распределение температур V (x,y,t) в пределе при t -OO превращается в равновесное распределение тмператур U (x,y) , описываемое задачей (2) . Поэтому вместо стационарной задачи (2) можно решать нестационарную задачу (3) до того времени t , пока её решение перестаёт менятся в пределах интересующей нас точности. В этом состоит идеал решения стационарных задач методом установления.

В соответствии с этим вместо задачи (2) решается задача (3) , а вместо разностной схемы (1) для задачи (2) рассмотрим и составим три различные разностные схемы для задачи (3) .

Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему:

U^p+1 _mn - U^p _mn = L _xx U^p _mn + L _yy U^p _mn - j (x_m ,y_n )

t

U^p+1 _mn | г = Y (s_mn ) (4)

U⁰ _mn = Y₀ x_m ,y_n )

Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему:

U^p+1 _mn - U^p _mn = L _xx U^p+1 _mn + L _yy U^p+1 _mn - j (x_m ,y_n )

t

U^p+1 _mn | г = Y (s_mn ) (5)

U⁰ _mn = Y ₀ (x_m ,y_n )

и исследуем схему применения направлений

U’_mn - U^p _mn = 1 [ L _xx U’_mn + L _yy U^p _mn - j (x_m ,y_n )]

t 2

U^p+1 _mn - U’_mn = 1 [ L _xx U’_mn + L _yy U^p+1 _mn - j (x_m ,y_n )]

t 2 (6)

U^p+1 _mn | г = U’_mn | г = Y (s_mn )

U⁰ _mn = Y ₀ (x_m ,y_n )

Будем считать, что Y ₀ (x_m ,y_n ) по уже известному U^p ={U^p _mn } для схемы (4) оссуществляется по уже явным формулам.

Вычисление U^p+1 = {U^p+1 _mn } по схеме (5) требует решения задачи :