Реферат: Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

t t (7)

U^p+1 _mn | г = Y (s_mn )

Вычисление U^p+1 = {U^p+1 _mn } по уже известным U^p = {U^p _mn } по схеме (6) осуществляется прогонками в направлении оси OX для вычисления решений {U’_mn } одномерных задач при каждом фиксированом n , а затем прогонками в направлнии осиOY для вычисления решений {U^p+1 _mn } одномерных задач при каждом фиксированом m .

Для каждой из двух разностных схем (4) и (6) рассмотрим разность для счёта погрешностеи вычислений:

e ^p _mn = U^p _mn - U_mn

между сеточной функцией U^p = {U^p _mn } и точным решением U = {U_mn } задачи (1) .

Решение {U_mn } задачи (1) удовлетворяет уравнениям:

U^p _mn - U_mn = L _xx U_mn - j (x_m ,y_n )

t

U_mn | г = Y (s_mn )

U⁰ _mn = U_mn

Вычитая эти равенства из (4) почленно, получим для погрешности e ^p _mn следующую разностную задачу:

e ^p+1 _mn - e ^p _mn = L _xx e ^p _mn + L _yy e ^p _mn

t

e ^p+1 _mn | г = 0 (9)

e ⁰ _mn = Y ₀ (x_m ,y_n ) - U_mn

Сеточная функция e ^p _mn при каждом p (p=0,1,...) обращается в ноль на границе Г .

Метод переменных направлений

Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности:

dU = LU + f (x,t) , x Î G₀₂ , t Î [0,t₀ ]

dt

U | г = m (x,t) (1)

U (x,0) = U₀ (x)

LU = LU = (L ₁ +L₂ )U , где L _a U = d² U , a =1,2

dx²

Область G_{0 a} =G₀ = {0<= x _a <=l _a , a =1,2} -прямоугольник со сторонами l₁ и l₂ , Г - граница G₀ = G₀ + Г .

В G₀ построили равномерную по xa сетку v _h с шагами h₁ = l₁ /N₁ , h₂ = l2 /N₂ . Пустьn _h - граница сеточной области w _h , содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, v _h = w _h + n _h .

Оператор L _a заменим разностным оператором L_a :

L_a y = yx _a x _a , L = L₁ + L₂

В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида:

A_i y_i-1 - C_i y_i + B_i y_i+1 = -F , i=1,...,N-1

y₀ = m ₁ (2)

y_n = m _N

A_i > 0, B_i > 0, C_i > A_i + B_i

которая решается методом прогонки.

Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку v _h можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i₂ =0,1,2,...,N₂ , или как совокупность узлов расположенных на столбцах i₁ =1,2,...,N₁ . Всего имеется N₁ +1 столбцов и N₂ +1 строк. Число узлов в каждой строке равно N₁ +1 , а в каждом столбце N₂ +1 - узлов.