Реферат: Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t) , т.е. сy = yⁿ и y` = yⁿ⁺¹ вводится промежуточное значение y = y^n+½ , которое можно формально рассматривать как значение при t = t_n+½ = t _n+½ . Переход от слоя n на слойn+1 совершается в два этапа с шагами 0.5 t .

y ^n+½ - yⁿ = L ₁ y^n+½ + L ₂ yⁿ + j ⁿ (3)

0.5t

y ⁿ⁺¹ - y^n+½ = L ₁ y^n+½ + L ₂ yⁿ⁺¹ + j ⁿ (4)

0.5t

Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = x_i сетки v _h и для всех t=t_h > 0 .

Первая схема неявная по направлению х₁ и явная по х₂ , вторая схема явная по х₁ и неявная по х₂ . К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:

y(x,0) = U ₀ (x) , x Î v _h (5)

и разностно краевые условия, например, в виде:

yⁿ⁺¹ = m ⁿ⁺¹ при i₁ =0, i₂ =N₂ (6)

y^n+½ = m при i₁ =0, i₂ =N₁ (7)

где m = 1 ( m ⁿ⁺¹ + m ⁿ ) - t L₂ ( m ⁿ⁺¹ - m ⁿ ) (8)

2 4

Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1) . Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:

2 y - L ₁ y = F , F = 2 y + L ₂ y + j

t t ( 9)

2 y` - L <sub>2</sub> y` = F’ , F = 2 y + L ₁ y + j

t t

Введём обозначения:

x_i = (i₁ h₁ , i₂ h₂ )

F = F_i1,i2

y = y_i1,i2

при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2) , т.е.:

1 y_i1-1 - 2 1 + 1 y_i1 + 1 y_i1+1 = - F_i1

h² ₁ h² ₁ t h² ₁

i1 = 1,...,N₁ -1 (10)

y = m при i1 = 0,N₁

1 y`<sub>i2-1</sub> - 2 1 + 1 y`_i2 + 1 y`_i2+1 = - F_i2

h² ₂ h² ₂ t h² ₂

i2 = 1,...,N₂ -1 (11)

y` = m ` при i2 = 0,N₂