Реферат: Окружности в треугольниках и четырехугольниках
Теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2.5 Прямоугольный треугольник
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2
3. Практическая часть
3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника
Задача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.
 |
Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,
площадь ∆ BOC равна 16
Найти: радиус описанной окружности
Решение:
1. Проведем медианы AF, CE, BH
2. ∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный
3. ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚
4. BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚
5. ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚
6. S = 
∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC = 
∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = ∙ R ∙ R ∙ = 
∙ R2 ; ∙ R2 = 16; R2 = 16 : = 64; R = 
= 8
Ответ: R = 8
Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.
