Реферат: Похідна 5
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.
Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:
Теорема 1. Якщо функція має в точці х0 локальний екстремум, то або , або не існує.
Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.
Точки, в яких функція визначена та неперервна, і в цих точках або не існує, називаються критичними для функції.
Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f . Їх дають такі теореми:
Теорема 2. Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0 , і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0 ).
Якщо для х < х0 , а для х0 < x , то для х=х0 функція має максимум.
Якщо для х < х0 , а для х0 < x , то для х=х0 функція має мінімум.
Теорема 3. Нехай функція два рази диференційована в околі точки х0 і . Тоді в точці х=х0 функція має локальний максимум, якщо , і локальний мінімум, якщо .
Якщо ж , то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.
Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:
1. знаходять критичні точки функції , тобто точки , в яких , або не існує;
2. знаходять другу похідну і обчислюють значення другої похідної в цих точках.
Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.
Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.
Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.
Приклад 1 . Дослідити на екстремум функцію
Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:
.
Знайдемо нулі похідної:
х2 +х-2=0, х1 =-2 х2 =1.
Отже, функція f має дві критичні точки х1 =-2,х2 =1.
Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2 , то на інтервалах , а на інтервалі (-2;1) .
Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.
Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.
.
При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.
.
Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію
Розв’язання. Функція визначена. Знайдемо її похідну:
.
Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:
.
Крім того, похідна дорівнює нулю в точці х=0. оскільки справа від цієї точки(до х<6) функція не визначена, то в точці х=0 функція набуває найменшого значення .
Приклад 3. Дослідити на екстремум функцію
.
Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Її похідна