Реферат: Похідна 5

2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщо відома абсциса точки дотику х₀ ?

Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної ,то .

Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x), тобто y’=f ‘(x), і обчислення її значення в точці х₀ .

3. Знайти гострий кут між дотичними, проведеними до графіків функцій ,що мають спільну абсцису х₀ :

, .

4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точки дотику якої дорівнює х₀ .

Довжиною дотичної прийнято називати відстань між точкою дотику до графіка функції і точкою її перетину з віссю абсцис.

У цьому випадку знаходимо

і скористаємося формулою

Приклади:

Приклад 1 . Знайти рівняння дотичної до графіка функції

в точці з абсцисою х₀ =3.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної в точці х₀ :

скориставшись рівнянням дотичної

,

матимемо

Звідси .

Відповідь: .

Приклад 2 . Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x² -4x+8 в точці (3;5)?

Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.

Знайдемо похідну y’=2x-4.

Тоді . Звідси

Відповідь :

Приклад 3 . Дотична до графіка функції

нахилена до осі абсцис під кутом . Знайти координати точки дотику.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції:

.

За умовою y’(x₀ )=tg=1 маємо

отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).

Відповідь: А(2;2).

Розділ 2

Застосування похідної

2.1. Правила диференціювання

Теорема : Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то