Реферат: Похідна 5

Так, наприклад, кут трикутника може змінюватися лише від 0 до П, швидкість тіла доводиться розглядати в проміжку часу від t₀ до t₁ та інше. Тому й необхідно досліджувати поведінку функції на конкретному проміжку [a;b] або на його кінцях, то чинять так:

1. знаходять критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять значення функції на кінцях відрізка, тобто;

3. серед усіх значень вибирають найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень .

По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b).

Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і б , тобто . Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.

Приклади.

Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]

Розв’язання . На даному відрізку функція визначена і неперервна, диференційована в інтервалі(-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:

х=0

знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка:

Отже,

.

Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]

Розв’язання. Функція визначена і неперервна на відрізку , диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для цього знайдемо похідну

і прирівняємо її до нуля:

х⁴ +8х=0; х=0; х=-2.

Отже, на інтервалі (-1;1)функція має лише одну критичну точку х=0. знайдемо значення функції в цій точці .

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка

, .

Отже,

,

Відповідь :,

1.5. Означення дотичної, піддотичної, нормалі

Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х_0. рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд:

,

де х і у – біжучі координати дотичної, f ‘(x₀ )=k – кутовий коефіцієнт дотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х₀ , тобто тангенс кута нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.

Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точки дотику і точкою перетину дотичної з віссю абсцис, називають під дотичною. Її довжина дорівнює |х₀ -х₁ |.

Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точці її дотику М до графіка функції у=f(x), називається нормаллю.

Рівняння нормалі записують у вигляді:

якщо f ‘(x₀ )0(в противному разі рівняння нормалі х-х₀ =0).

На цей матеріал можна скласти ряд задач. Розглянемо деякі з них.

1. Дано абсцису точки дотику х₀ графіка функції у=f(x), а необхідно записати рівняння дотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.