Реферат: Похідна 5

Розв’язання. Розглянемо функцію

=.

Знайдемо її похідну

=.

Нехай

а) х<0, тоді очевидно, >0;

б) х=0, тоді ;

в) x>0, тоді знову ж таки >0.

Отже, похідна всюди додатна, за винятком однієї ізольованої точки х=0. це означає, що функція f зростає на всій числовій осі. Тому дане рівняння не може мати більше одного кореня. Оскільки , то нуль і є тим єдиним коренем.

Приклад 3. Розв’язати рівняння

.

Тривіальним коренем рівняння є х=0. доведемо, що інших коренів рівняння не має. Розглянемо функцію

.

Знайдемо її похідну для будь-якого .

Отже, функція зростає на всій числовій осі. Тому рівняння не має більше коренів.

Приклад 4. Розв’язати рівняння

.

Розглянемо функцію .

Вона диференційована на всій області визначення. Знайдемо її похідну

.

Очевидно, для .

А це означає, що рівняння має лише один корінь (найвищий показник степеня непарний). Тривіальним коренем є х=1.

Відповідь : 1.

2.4. Текстові задачі на екстремум

Приклад 1. Яке із десяти чисел

найбільше?

Розв’язання. Зрозуміло, що це число міститься в середині цієї скінченої послідовності чисел і його можна знайти безпосереднім обчисленням.

Знайдемо це число за допомогою похідної. Для цього розглянемо функцію .

Знайдемо її похідну, записавши функцію в такому вигляді:

.

Тоді

.

Знак похідної залежить лише від виразу, що знаходиться в дужках. Функція спадає на інтервалі , причому , а . Тому на інтервалі функція f зростає, а на інтервалі – спадає. Тоді найбільше число буде або . Безпосереднє обчислення дає відповідь на поставлене в задачі запитання : є найбільшим серед десяти даних чисел.

Приклад 2. У плоску фігуру, обмежену параболою і прямою у=4, вписати прямокутник найбільшої площі так, щоб нижня основа лежала на прямій , а вершини верхньої основи на параболі.

Розв’язання . Нехай у фігуру ABC вписано прямокутник DKMN.

.

Позначимо абсциси точок M і N через , а тоді точки D і K матимуть абсцисою точку -.

Отже, DN=2, де DN – ширина прямокутника. Висота прямокутника буде дорівнювати різниці ординат точок M і N, тобто MN=.

Тоді площу прямокутника DKMN запишемо у такому вигляді:

.