Реферат: Похідна 5

Для . Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення

.

6) Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

.

На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку , а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

7) Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:

, .

Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.

.

Приклад 2. Побудувати графік функції:

Розв’язання.

1. Область визначення функції f :

.

2. Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.

3. Період функції . Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку . Крім того, враховуючи, що , робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої на проміжку . Тому можна обмежитися дослідженням функції на проміжку .

4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку . Для цього знайдемо її похідну

.

Для . Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді на проміжку вона зростає, а в точці має мінімум, який дорівнює 1.

Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжках і зростає на проміжках , . В точках набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.

5. Дослідимо функцію на опуклість на проміжку :

.

Звідси безпосередньо випливає, що для . Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках графік функції опуклий вниз.

6. Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля зліва:

.

Отже, прямі х=0, х= – вертикальні асимптоти. Тоді і прямі х=, – вертикальні асимптоти.

2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь

Похідна в окремих випадках може бути застосована до розв’язування рівнянь, а саме : для встановлення кількості коренів або їх відсутності, для їх знаходження.

Так, наприклад, якщо маємо рівняння , де – зростаюча або спадна функція, то , зрозуміло, що рівняння не може мати більше одного кореня, причому можна з впевненістю сказати, що він буде, якщо а належить множині значень функції . А для визначення строгої монотонності застосовується похідна.

Використовують і такий факт: якщо многочлен k -го степеня має k дійсних коренів, то його похідна має їх k –1 .

Розглянемо застосування похідної до розв’язування рівнянь на конкретних прикладах.

Приклад 1. Яким умовам повинні задовольняти параметри p та q , щоб рівняння мало три різних дійсних корені?

Розв’язання. Розглянемо функцію

.

Для того щоб дана функція мала три різні нулі, необхідно, щоб її похідна

мала два різних нулі. А це буде тоді, коли . Звідси .

Отже, похідна має один додатний і один від’ємний корінь. Тоді функція має обов’язково один від’ємний корінь. А це можливо за умови, що . Отже, .