Реферат: Похідна 5

Ця критична точка розбиває числову пряму на два інтервали знакосталості похідної :

.

Оскільки на інтервалі , то функція f в точці має локальний максимум.

Його значення

1.3. Зростання та спадання функції

Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.

Теорема. Нехай функція неперервна на проміжку < a ,б> і диференційована в інтервалі (а,б).для того, щоб функція f була зростаючою(спадною) на проміжку < a ,б>, необхідно і достатньо виконання двох умов:

1.

2. рівність не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в < a ,б>.

Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня ознака строгої монотонності):

Теорема. Нехай функція f неперервна на проміжку < a ,б> і диференційована в інтервалі (а,б). Якщо , то f зростає(спадає) на < a ,б>.

Тому для знаходження проміжків зростання та спадання диференційованої функції діють у такий спосіб:

1. Знаходять:

а)область визначення функції , якщо вона наперед не задана;

б)похіднуданої функції;

в)точки, в яких похідна дорівнює нулю, для чого розв’язують рівняння, а також точки, в яких функція визначена, але похідна не існує, їх називають критичними точками.

2. Визначають знак похідної на конкретному інтервалі, достатньо обчислити її значення для будь-якого значення аргументу, що належить цьому інтервалу.

Приклади

Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на множені R.

Знайдемо її похідну

.

Нулями похідної є х₁ =1, х₂ =.

Оскільки похідна неперервна, то вона зберігає знак на інтервалах . Оскільки похідна задана квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х² , то вона набуває додатних значень поза коренями, тобто на інтервалах і від’ємних між коренями, тобто на інтервалі .

Отже , на інтервалах функція f зростає, а на інтервалі – спадає.

Приклад 2. Довести, що функція

спадає на R.

Розв’язання . Дана функція визначена і диференційована на R.

Знайдемо похідну

.

Оскільки для , то дана функція f спадає на R.

1.4. Найбільше та найменше значення функції

Нехай дано функцію, яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення.

Чим викликана необхідність знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку?