Реферат: Понятие случайного процесса в математике

Случайный процесс X(t) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значений t, поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (X(t₁ ), X(t₂ ), …, X(t_n )), состоящей из всех сочетаний этого процесса. В принципе таких сочетаний бесконечно много, но для описания случайного процесса удаётся часть обойтись относительно небольшим количеством сочетаний.

Говорят, что случайный процесс имеет порядок n , если он полностью определяется плотностью совместного распределения φ(x_1, x₂ , …, x_n ; t₁ , t₂ , …, t_n ) nпроизвольных сечений процесса, т.е. плотностью n-мерной случайной величины (X(t₁ ), X(t₂ ), …, X(t_n )), где X(t_i ) – сочетание случайного процесса X(t) в момент времени t_i , i=1, 2, …, n.

Как и случайная величина, случайный процесс может быть описан числовыми характеристиками. Если для случайной величины эти характеристики являются постоянными числами, то для случайного процесса – неслучайными функциями.

Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция a_x (t), которая при любом значении переменной tравна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса X(t), т.е. a_x (t)=М [X(t)].

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция D_x (t), при любом значении переменной tравная дисперсии соответствующего сочетания случайного процесса X(t), т.е. D_x (t)= D[X(t)].

Средним квадратическим отклонением σ_x (t) случайного процесса X(t) называется арифметическое значение корня квадратного из его дисперсии, т.е. σ_x (t)= D_x (t).

Математическое ожидание случайного процесса характеризует среднюю траекторию всех возможных его реализаций, а его дисперсия или среднее квадратическое отклонение - разброс реализаций относительно средней траектории.

Введённых выше характеристик случайного процесса оказывается недостаточно, так как они определяются только одномерным законом распределения. Если для случайного процесса Х₁ (t) характерно медленное изменение значений реализаций с изменением t, то для случайного процесса Х₂ (t) это изменение проходит значительно быстрее. Другими словами, для случайного процесса Х₁ (t) характерна тесная вероятностная зависимость между двумя его сочетаниями Х₁ (t₁ ) и Х₁ (t₂ ), в то время как для случайного процесса Х₂ (t) эта зависимость между сочетаниями Х₂ (t₁ ) и Х₂ (t₂ ) практически отсутствует. Указанная зависимость между сочетаниями характеризуется корреляционной функцией.

Определение: Корреляционной функцией случайного процесса Х(t) называется неслучайная функция

K_x (t₁ , t₂ ) = M[(X(t₁ ) – a_x (t₁ ))(X(t₂ ) – a_x (t₂ ))] (1.)

двух переменных t₁ и t₂ , которая при каждой паре переменных t₁ и t₂ равна ковариации соответствующих сочетаний Х(t₁ ) и Х(t₂ ) случайного процесса.

Очевидно, для случайного процесса Х(t₁ ) корреляционная функция K_{x 1} (t₁ , t₂ ) убывает по мере увеличения разности t₂ - t₁ значительно медленнее, чем K_{x 2} (t₁ , t₂ ) для случайного процесса Х(t₂ ).

Корреляционная функция K_x (t₁ , t₂ ) характеризует не только степень тесноты линейной зависимости между двумя сочетаниями, но и разброс этих сочетаний относительно математического ожидания a_x (t). Поэтому рассматривается также нормированная корреляционная функция случайного процесса.

Нормированной корреляционной функцией случайного процесса Х(t) называется функция:

P_x (t₁ , t₂ ) = K_x (t₁ , t₂ ) / σ_x (t₁ )σ_x (t₂ ) (2)

Пример № 1

Случайный процесс определяется формулой X(t) = Xcosωt, где Х – случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х) = а, D(X) = σ² .

РЕШЕНИЕ:

На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:

a_x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,

D_x (t) = D(X cosωt) = cos² ωt * D(X) = σ² cos² ωt.

Корреляционную функцию найдём по формуле (1.)

K_x (t₁ , t₂ ) = M[(X cosωt₁ – a cosωt₁ ) (X cos ωt₂ – a cosωt₂ )] =

= cosωt₁ cosωt₂ * M[(X – a)(X - a)] = cosωt₁ cosωt₂ * D(X) = σ² cosωt₁ cosωt₂ .

Нормированную корреляционную функцию найдём по формуле (2.):

P_x (t₁ , t₂ ) = σ² cosωt₁ cosωt₂ / (σcosωt₁ )( σcosωt₂ ) ≡ 1.

Случайные процессы можно классифицировать в зависимости от того, плавно или скачкообразно меняются состояния системы, в которой они протекают, конечно (счетно) или бесконечно множество этих состояний и т.п. Среди случайных процессов особое место принадлежит Марковскому случайному процессу.

Теорема. Случайный процесс X(t) является гильбертовым тогда и только тогда, когда существует R(t, t’) для всех (t, t’)€ T*T.

Теорию гильбертовых случайных процессов называют корреляционной.