Реферат: Понятие случайного процесса в математике

Теорема

Стационарный случайный процесс Х(t) с характеристиками:

M[X(t)] = 0, K(t, t’) = M[X(t)X(t’)] = k(τ),

τ = t’ – t, (t, t’) € T×T

является эргодическим по математическому ожиданию тогда и только тогда, когда

Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.

Для доказательства, очевидно, достаточно убедиться, что справедливо равенство

M{(1 / T) ∫X(t)dt|² } = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Запишем очевидные соотношения

C = M {|(1 / T) ) ∫X(t)dt|² } = (1 / T² ) ∫ ∫ k(t’ - t)dt’dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t’ - t)dt’.

Полагая здесь τ = t’ – t, dτ = dt’ и учитывая условия (t’ = T) → (τ = T - t),

(t’ = 0)→(τ = -t), получим

С = (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =

= -(1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ

Полагая в первом и втором слагаемых правой части этого равенства соответственно τ = -τ’, dτ = -dτ’, τ = T-τ’, dτ = -dτ’, найдем

С = (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T² ) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ

Применяя формулу Дирихле для двойных интегралов, запишем

С = (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T² ) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T² ) ∫ (T - τ) k(τ)dτ + (1/T² ) ∫ τk (T – τ)dτ

Во втором слагаемом правой части можно положить τ’ = T-τ, dτ = -dτ’, после чего будем иметь

С = (1/Т² ) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ – (1/T² ) ∫ (T - τ) k(τ)dτ= 2/T ∫ (1- (τ/T)) k(τ)dτ

Отсюда и из определения констант видно, что равенство

M{(1 / T) ∫X(t)dt|² } = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Справедливо.

Теорема

Если корреляционная функция k(τ) стационарного случайного процесса X(t) удовлетворяет условию

Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0

То X(t) является эргодическим по математическому ожиданию.

Действительно, учитывая соотношение

M{(1 / T) ∫X(t)dt|² } = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ