Реферат: Понятие случайного процесса в математике

2. семьи, не имеющие автомобиля, но намеревающиеся его приобрести;

3. семьи, имеющие автомобиль.

Проведённое статистическое обследование показало, что матрица перехода за интервал в один год имеет вид:

0,8 0,1 0,1

0 0,7 0,3

0 0 1

(В матрице P₁ элемент р₃₁ = 1 означает вероятность того, что семья, имеющая автомобиль, также будет его иметь, а, например, элемент р₂₃ = 0,3 – вероятность того, что семья, не имевшая автомобиля, но решившая его приобрести, осуществит своё намерение в следующем году, и т.д.)

Найти вероятность того, что:

1. семья, не имевшая автомобиля и е собиравшаяся его приобрести, будет находиться в такой же ситуации через два года;

2. семья, не имевшая автомобиля, но намеревающаяся его приобрести, будет иметь автомобиль через два года.

РЕШЕНИЕ: найдём матрицу перехода Р₂ через два года:

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

То есть искомые в примере 1) и 2) вероятности равны соответственно

р₁₁ =0,64, р₂₃ =0,51

Далее рассмотрим Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, в котором, в отличие от рассмотренной выше цепи Маркова, моменты возможных переходов системы из состояния не фиксированы заранее, а случайны.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – так называемым графиком событий . Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Пример. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

РЕШЕНИЕ. Возможные состояния системы: S_{0 –} оба узла исправны; S₁ – первый узел ремонтируется, второй исправен; S₂ – второй узел ремонтируется, первый исправен; S₃ – оба узла ремонтируются.

Стрелка, направления, например, из S₀ в S₁ , означает переход системы в момент отказ первого узла, из S₁ в S₀ – переход в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из S₀ в S₃ и из S₁ в S₂ . Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагается независимыми друг от друга и, например, вероятностями одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S₀ в S₃ ) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S₃ в S₀ ) можно пренебречь.

Стационарные случайные процессы

Случайный процесс Х(t) называют стационарным в узком смысле , если

F(x₁ , …, x_n ; t₁ , …, t_n ) = F(x₁ , …, x_{n ;} t₁ +∆, …, t_n +∆)

При произвольных

n≥1, x₁ , …, x_n , t₁ , …, t_n ; ∆; t₁ € T, t_i + ∆ € T.

Здесь F(x₁ , …, x_n ; t₁ , …, t_n ) – n-мерная функция распределения случайного процесса Х(t).

Случайный процесс Х(t) называют стационарным в широком смысле , если