Реферат: Понятие случайного процесса в математике

K_n (τ) = (-1)ⁿ * (δ^{2 n} *k(τ) / δτ^{2 n} )

Теорема. Стационарный случайный процесс X(t) с корреляционной функцией k(τ) непрерывен в среднем квадратическом в точке t € T тогда и только тогда, когда

Limk(τ) = k(0)

Для доказательства запишем очевидную цепочку равенств:

M [|X(t+τ)-X(T)|² ] = M[|X(t)|² ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M[X(t)² ] =

= 2D-2k(τ) = 2[k(0)-k(τ)].

Отсюда очевидно, что условие непрерывности в среднем квадратическом процесса X(t) в точке t € T

LimM[|X(t+τ) – X(t)|² ] = 0

Имеет место тогда и только тогда, когда выполняется Limk(τ) = k(0)

Теорема. Если корреляционная функция k(τ) стационарного случайного процесса X(t) непрерывна в среднем квадратическом в точке τ=0, то она непрерывна в среднем квадратическом в любой точке τ € R¹ .

Для доказательства запишем очевидные равенства:

k(τ+∆τ)-k(τ) = M[X(t+τ+∆τ)X(t)] – M[X(t+τ)X(t)] =

= M{X(t)[X(t+τ+∆τ) – X(t+τ)]}

Затем, применяя неравенство Шварца к сомножителям в фигурной скобке и учитывая соотношения:

K(t, t’) = k(τ) = k(-τ), τ = t’ – t.

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0

Получим:

0 ≤ [k(τ+∆τ)-k(τ)]² ≤ M[X(t)² ]M[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)|² ] =

= 2D[D-k(∆τ)].

Переходя к пределу при ∆τ→0 и принимая во внимание условие теоремы о непрерывности k(τ) в точке τ=0, а также первое равенство системы

K(0) = В = σ² , найдём

Limk(τ+∆τ) = k(τ)

Поскольку здесь τ – произвольное число, теорему следует считать доказанной.

Эргодическое свойство стационарных случайных процессов

Пусть Х(t) - стационарный случайный процесс на отрезке времени [0,T] с характеристиками

M[X(t)] = 0, K(t, t’) = M[X(t)X(t’)] = k(τ),

τ = t’ – t, (t, t’) € T×T.

Эргодическое свойство стационарного случайного процесса заключается в том, что по достаточно длительной реализации процесса можно судить о его математическом ожидании, дисперсии, корреляционной функции.

Более строго стационарный случайный процесс Х(t) будем называть эргодическим по математическому ожиданию, если