Реферат: Понятие случайного процесса в математике

Y(t) = limY_n

max (t_i – t_{i -1} )→0

Называется интегралом в среднем квадратическом процесса X(t) на (0, t) и обозначается:

Y(t) = ∫ X(τ)dτ.

Теорема . Интеграл Y(t) в среднем квадратическом существует тогда и только тогда, когда ковариационная функция R(t, t’) гильбертова процесса X(t) непрерывна на Т×Т и существует интеграл

R_y (t, t’) = ∫ ∫ R(τ, τ’) dτdτ’

Если интеграл в среднем квадратическом функции X(t) существует, то

M[Y(t)] = ∫ M[X(τ)]dτ,

R_Y (t, t’) = ∫ ∫ R(τ, τ’)dτdτ’

K_y (t, t’) = ∫ ∫ K(τ, τ’)dτdτ’

Здесь R_y (t, t’) = M[Y(t)Y(t’)], K_y (t, t’) = M[Y(t)Y(t’)] – ковариационная и корреляционная функции случайного процесса Y(t).

Теорема. Пусть X(t) – гильбертов случайный процесс с ковариационной функцией R(t, t’), φ(t) – вещественная функция и существует интеграл

∫ ∫ φ(t)φ(t’)R(t, t’)dtdt’

Тогда существует в среднем квадратическом интеграл

∫ φ(t)X(t)dt.

Случайные процессы:

X_i (t) = V_i φ_i (t) (i = 1n)

Где φ_i (t) – заданные вещественные функции

V_i - случайные величины с характеристиками

M(V_I = 0), D(V_I ) = D_I , M(V_i V_j ) = 0 (i ≠ j)

Называют элементарными.

Каноническим разложением случайного процесса X(t) называют его представление в виде

X(t) = m_x (t) + ∑ V_i φ_i (t) (t € T)

Где V_i – коэффициенты, а φ_i (t) – координатные функции канонического разложения процесса X(t).

Из отношений:

M(V_I = 0), D(V_I ) = D_I , M(V_i V_j ) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m_x (t) + ∑ V_i φ_i (t) (t € T)

Следует:

K(t, t’) = ∑ D_i φ_i (t)φ_i (t’)