Реферат: Понятие случайного процесса в математике
Соответственно сочетания Хt могут быть дискретными и непрерывными случайными величинами.
Случайный процесс называется Х(t) выборочно неправильным, дифференцируемым и интегрируемым в точке ω€Ω, если его реализация x(t) = x(t, ω) соответственно непрерывна, дифференцируема и интегрируема.
Случайный процесс Х(t) называется непрерывным: почти, наверное, если
P(A)=1, A = {ω € Ω : lim x(tn ) = x(t)}
В среднем квадратическом, если
LimM[(X(tn ) – X(t))2 ] = 0
По вероятности , если
Aδ ≥ 0 : limP[| X(tn ) – X(t)| > δ] = 0
Сходимость в среднем квадратическом обозначают также:
X(t) = limX(tn )
Оказывается, из выборочной непрерывности следует непрерывность почти наверное, из непрерывности почти наверное и в среднем квадратическом следует непрерывность по вероятности.
Теорема. Если X(t) – гильбертов случайный процесс, непрерывный в среднем квадратическом, то mx (t) – непрерывная функция и имеет место соотношение
Lim M [X(tn )] = M [X(t)] = M [lim X(tn )].
Теорема. Гильбертов случайный процесс X(t) непрерывен в среднем квадратическом тогда и только тогда, когда непрерывна его ковариационная функция R(t, t’) в точке (t, t).
Гильбертов случайный процесс X(t) называется дифференцируемым в среднем квадратическом, если существует случайная функция X(t) = dX(t)/dtтакая, что
X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t
(t € T, t +∆t € T),
т.е. когда
Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t))2 ] = 0
Случайную функцию X(t) будем называть производной в среднем квадратическом случайного процесса X(t) соответственно в точке t или на T.
Теорема. Гильбертов случайный процесс X(t) дифференцируем в среднем квадратическом в точке t тогда и только тогда, когда существует
δ2 R(t, t’) / δtδt’ в точке (t, t’). При этом:
Rx (t, t’) = M[X(t)X(t’)] = δ2 R(t, t’) / δtδt’.
Если гильбертов случайный процесс дифференцируем на Т, то его производная в среднем квадратическом также является гильбертовым случайным процессом; если выборочные траектории процесса дифференцируемы на Т с вероятностью 1, то с вероятностью 1 их производные совпадают с производными в среднем квадратическом на Т.
Теорема. Если X(t) - гильбертов случайный процесс, то
M[dX(t) / dt] = (d / dt) M[X(t)] = dmx (t) / dt.
Пусть (0, t) – конечный интервал, 0 <t1 < … <tn = t – его точки
X(t) - гильбертов случайный процесс.
Yn = ∑ X(ti )(ti – ti-1 ) (n = 1,2, …).