Реферат: Понятие случайного процесса в математике

(t € T, t’ € T, t + ∆€ T), t’ + ∆€ T)

Очевидно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

Из формул:

m(t) = m(t + ∆), K(t, t’) = K(t + ∆, t’ + ∆)

(t € T, t’ € T, t + ∆€ T), t’ + ∆€ T)

Следует, что для процесса, стационарного в широком смысле, можно записать

m (t) = m_x (0) = const;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t’) = K(t – t’, 0) = K (0, t’ - t)

Таким образом, для процесса, стационарного в широком смысле, математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а K(t, t’) представляет собою функцию вида:

K(t, t’) = k(τ) = k(-τ), τ = t’ – t.

Видно, что k(τ) – чётная функция, при этом

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0

Здесь D – дисперсия стационарного процесса

Х(t), α_i (I = 1, n) – произвольные числа.

Первое равенство системы

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0

следует из уравнения K(t, t’) = k(τ) = k(-τ), τ = t’ – t. Первое равенство

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0 - простое следствие неравенства Шварца для сечений X(t), X(t’) стационарного случайного процесса X(t). Последнее неравенство:

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0

Получают следующим образом:

∑ ∑ α_i α_j k(t_i - t_j ) = ∑ ∑ K(t_i , t_j )α_i α_j = ∑ ∑ M[(α_i X_i )(α_j X_j )] = M[(∑ α_i X_i )² ] ≥0

Учитывая формулу корреляционной функции производной dX(t)/dt случайного процесса, для стационарной случайной функции X(t) получим

K₁ (t, t’) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t’)/dt’)] = δ² K(t, t’) / δtδt’ = δ² k(t’ - t) / δtδt’

Поскольку

δk(t’ - t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,

δ² k(t’ - t) / δtδt’ = - (δ² k(τ) / δτ² ) * (δτ / δt’) = - (δ² k(τ) / δτ² )

то K₁ (t, t’) = k₁ (τ) = - (δ² k(τ) / δτ² ), τ = t’ – t.

Здесь K₁ (t, t’) и k₁ (τ) – корреляционная функция первой производной стационарного случайного процесса X(t).