Реферат: Понятие случайного процесса в математике
0 ≤ (2/Т) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)|dτ
Отсюда видно, что если выполнено условие, то
Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0
Теперь, принимая во внимание равенство
С = (1/Т2 ) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ – (1/T2 ) ∫ (T - τ) k(τ)dτ= 2/T ∫ (1- (τ/T)) k(τ)dτ
И условие LimM {|(1 / T)∫ X(t)dt|2 } = 0
Эргодичности по математическому ожиданию стационарного случайного процесса X(t), находим, что требуемое доказано.
Теорема.
Если корреляционная функция k(τ) стационарного случайного процесса
X(t) интегрируема и неограниченно убывает при τ → ∞, т.е. выполняется условие
При произвольном ε > 0, то X(t) – эргодический по математическому ожиданию стационарный случайный процесс.
Действительно, учитывая выражение
Для Т≥Т0 имеем
(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)|dτε(1 – T1 /T).
Переходя к пределу при Т → ∞, найдём
0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.
Поскольку здесь ε > 0 – произвольная, сколько угодно малая величина, то выполняется условие эргодичности по математическому ожиданию. Поскольку это следует из условия
О неограниченном убывании k(τ), то теорему следует считать доказанной.
Доказанные теоремы устанавливают конструктивные признаки эргодичности стационарных случайных процессов.
Пусть
X(t) = m + X(t), m=const.
Тогда M[X(T)] = m, и если X(t) - эргодический стационарный случайный процесс, то условие эргодичности LimM {|(1 / T)∫ X(t)dt|2 } = 0 после несложных преобразований можно представить в виде
Lim M{[(1/T) ∫ X(t)dt – m]2 } = 0
Отсюда следует, что если X(t) – эргодический по математическому ожиданию стационарный случайный процесс, то математическое ожидание процесса X(t) = m + X(t) приближенно может быть вычислено по формуле
M = (1/T) ∫ x(t)dt
Здесь Т – достаточно длительный промежуток времени;
x(t) – реализация процесса X(t) на отрезке времени [0, Т].
Можно рассматривать эргодичность стационарного случайного процесса X(t) по корреляционной функции.
Стационарный случайный процесс X(t) называется эргодическим по корреляционной функции , если