Реферат: Понятие случайного процесса в математике

В случае уравнения

X(t) = m_x (t) + ∑ V_i φ_i (t) (t € T)

Имеют место формулы:

X(t) = m_x (t) + ∑ V_i φ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m_x (τ)dτ + ∑ V_i ∫ φ_i (t)dt.

Таким образом, если процесс X(t) представлен его каноническим разложением, то производная и интеграл от него также могут быть представлены в виде канонических разложений.

Марковские случайные процессы с дискретными состояниями

Случайный процесс, протекающий в некоторой системе S с возможными состояниями S₁ , S₂ , S₃ , …, называется Марковским , или случайным процессом без последствия , если для любого момента времени t₀ вероятные характеристики процесса в будущем (при t>t₀ ) зависит только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние; т.е. не зависят от её поведения в прошлом (при t<t₀ ).

Примером Марковского процесса: система S – счётчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t₀ счётчик показывает S₀ / Вероятность того, что в момент t>t₀ счётчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) S₁ зависит от S₀ , но не зависит от того, в какие моменты времени изменились показания счётчика до момента t₀ .

Многие процессы можно приближенно считать Марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S – группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t₀ . Вероятность того, что в момент t>t₀ материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t_0, а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t₀ .

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения Марковские модели.

Марковским случайным процессом с дискретными состояниями и дискретным временем (или цепью Маркова) называется Марковский процесс, в котором его возможные состояния S₁ , S₂ , S_3, … можно заранее перечислить, а переход из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком), но только в определённые моменты времени t_0, t_1, t_2, ..., называемые шагами процесса.

Обозначим p_ij – вероятность перехода случайного процесса (системы S) из состояния I в состояние j. Если эти вероятности не зависят от номера шага процесса, то такая цепь Маркова называется однородной.

Пусть число состояний системы конечно и равно m. Тогда её можно характеризовать матрицей перехода P₁ , которая содержит все вероятности перехода:

p₁₁ p₁₂ … p_1m

p₂₁ p₂₂ … p_2m

… … … …

P_m1 p_m2 … p_mm

Естественно, по каждой строке ∑ p_ij = 1, I = 1, 2, …, m.

Обозначим p_ij (n) – вероятностью того, что в результате n шагов система перейдёт из состояния I в состояние j. При этом при I = 1 имеем вероятности перехода, образующие матрицу P₁ , т.е. p_ij (1) = p_ij

Необходимо, зная вероятности перехода p_ij , найти p_ij (n) – вероятности перехода системы из состояния I в состояние j за n шагов. С этой целью будем рассматривать промежуточное (между I и j) состояние r, т.е. будем считать, что из первоначального состояния I за k шагов система перейдёт в промежуточное состояние r с вероятностью p_ir (k), после чего за оставшиеся n-k шагов из промежуточного состояния r она перейдёт в конечное состояние j с вероятностью p_rj (n-k). Тогда по формуле полной вероятности

P_ij (n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k) – равенство Маркова.

Убедимся в том, что, зная все вероятности перехода p_ij = p_ij (1), т.е. матрицу P₁ перехода из состояния в состояние за один шаг, можно найти вероятность p_ij (2), т.е. матрицу P₂ перехода из состояния в состояние за два шага. А зная матрицу P₂ , - найти матрицу P₃ перехода из состояния в состояние за три шага, и т.д.

Действительно, полагая n = 2 в формуле P_ij (n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k), т.е. k=1 (промежуточное между шагами состояние), получим

P_ij (2) = ∑ p_ir (1)p_rj (2-1) = ∑ p_ir p_rj

Полученное равенство означает, что P₂ =P₁ P₁ = P² ₁

Полагая n = 3, k = 2, аналогично получим P₃ = P₁ P₂ = P₁ P₁ ² = P₁ ³ , а в общем случае P_n = P₁ ⁿ

Пример

Совокупность семей некоторого региона можно разделить на три группы: